Γεννήθηκε στο Μινσκ στη σημερινή Λευκορωσία της πρώην Σοβιετικής Ένωσης στις 13 Μαΐου του 1986. Εγκαταστάθηκε σε ηλικία 4 ετών στη Νορβηγία μαζί με τους γονείς του και μεγάλωσε στην σκανδιναβική χώρα. Παίζει μουσικά όργανα από την ηλικία των 5 ετών και σήμερα παίζει πιάνο και βιολί. Η μητέρα του είναι διάσημη πιανίστα, η Ναταλλία Βαλαντίναβνα Ρίμπακ (Natallia Valiantsinauna Rybak), ενώ ο πατέρας του, Ιγκαρ Αλαξάντραβιτς Ρίμπακ (Ihar Aliaksandravich Rybak), είναι γνωστός βιολονίστας στη Νορβηγία. Ο Αλεξάντερ έχει δηλώσει ότι πάντοτε του άρεσε να διασκεδάζει τους άλλους.
Το 2004 βραβεύτηκε με το βραβείο Άντερς Γιάρες για τον Πολιτισμό. Έλαβε μέρος στην νορβηγική έκδοση του Idol φτάνοντας στον ημιτελικό, ενώ το 2006 κέρδισε τον διαγωνισμό ταλέντων Kjempesjansen στο κανάλι NRK με το τραγούδι του Foolin’. Έχει συνεργαστεί με καλλιτέχνες όπως ο Μόρτεν Χάρκετ του συγκροτήματος A-ha και τον Άρβε Τέλεφσεν, επίσης τραγουδιστή του ιδίου συγκροτήματος. Ο Ρίμπακ εμφανίστηκε στη θεατρική παραγωγή Ο Βιολιστής στη Στέγη για το οποίο τιμήθηκε με το βραβείο Heddaprisen. Έπαιξε επίσης στην ταινία Yohan σε σκηνοθεσία της Γκρέτε Σαλομόνσεν.
O Alexander κέρδισε τον εθνικό διαγωνισμό Melodi Grand Prix 2009 και εκπροσώπησε τη Νορβηγία στον Διαγωνισμό Τραγουδιού της Eurovision, με το τραγούδι Fairytale, το οποίο είναι εμπνευσμένο από τη ρωσική και νορβηγική παραδοσιακή μουσική. Τη μουσική και τους στίχους στο τραγούδι έγραψε ο ίδιος ο Rybak. To τραγούδι εκτελέστηκε με τη συμμετοχή του μοντέρνου συγκροτήματος παραδοσιακών χορών «Frikar». Το εν λόγω τραγούδι ήταν το επικρατέστερο να κερδίσει τον διαγωνισμό, σύμφωνα με δημοσκοπήσει. Πράγματι, ο Alexander κέρδισε με 747.888 ψήφους έναντι 121.856 για την Τόνε Ντάμλι Ααμπέργκε.
Το τραγούδι προκρίθηκε στον δεύτερο ημιτελικό και κέρδισε μια θέση στον τελικό. Ο Alexander κέρδισε σαρωτικά την πρώτη θέση στο διαγωνισμό, πετυχαίνοντας ρεκόρ με τον μεγαλύτερο αριθμό βαθμών (387), καταρρίπτοντας το ρεκόρ των 292 βαθμών που είχαν πετύχει οι Lordi με τη Φινλανδία το Διαγωνισμό Τραγουδιού Eurovision 2006.
